最近は電卓やパソコンですぐに求められるから、わざわざ憶えておく必要もないのであるが、常用対数の log₁₀２ と log₁₀３ の値くらいは、理系畑の人は憶えているとなにかと便利なものなのである。 例えば、２³⁰ が何桁の数になるかは、log₁₀２≒０.３０１０ を知っていれば、「０.３０１０×３０＝９.０３０ より１０桁の数になる」 ということが直ちに分るのである。
　この　log₁₀２≒０.３０１０ の値は、また別の意味でも重要な値であることは、残念ながら世間ではまだ知られていない。すなわち、月日が逆順になっているが、私の誕生日が１０月３０日なのである。(シツレイシマシタ)
　log₁₀２≒０.３０１０ が私の誕生日を予言したものであるとするなら、log₁₀３ は私の命日を予言したものに違いないと考えられるが、これがなんと log₁₀３≒０.４７７１ (シナナイ)、すなわち私は不死身なのである。(再度シツレイシマシタ)

　冗談はこれくらいにして、私もついに５０歳に突入してしまった。このところ１年が経つのがとてつもなく速くなったと感じるのは、私が歳を取った証拠であろう。歳を取るにつれて時の経つのが速く感じられる理由にはいろいろあるのであろうが、その一つとして次のことが言われている。例えば１０歳の子供にとっての１年間は今まで生きてきた時間の１０％であるが、５０歳の人にとっての１年間は２％でしかない、だからであるというのである。このような理屈に科学的根拠があるのかどうかは知らないが、もっともらしい理由ではある。
　そこで、この理屈が正しいとしたらいったいどういうことになるのだろう、と考えてみたくなった。つまり、カレンダーや時計のような日時を確かめる手段をいっさい持たなかったとしたら、自分が生まれてから現在まで自分の生きたと感じる年月はいったいどれだけのものか？ ということである。
　まず時間の単位を１年としよう。そして、実際に生きた年数を "実際年"、我々の感じる年数を "感受年" と呼ぶことにして区別しよう。もちろん １感受年≦１実際年 であるが、１感受年が１実際年の何％になるかは、"その人のその日時点での生きた年数による" ということである。さて１感受年の基準を決めておかなくてはならないが、生まれて最初の本当の１年間はやはり１年間と感じることにしよう。

　(1) モデル−１

実際年	感受年(年)	感受年齢(歳)
１歳時	１.０００	１.０
１０歳時	０.１００	２.９
２０歳時	０.０５０	３.６
５０歳時	０.０２０	４.５
７０歳時	０.０１４	４.８
１００歳時	０.０１０	５.２

　生まれて最初の１年はやはり１年と感じるが、１〜２歳までの１年間は１/２年と感じ、２〜３歳までの１年間は１/３年と感じ、… というようにどんどん短く感じるとしてみよう。すなわち、生きた実際年が (ｎ−１)〜ｎ年までの１年を我々は１/ｎ年と感じるとするのである。 (図１)

　さて、実際年齢がｎ歳の人にとっての感受年齢 Ｙは何歳であるかを計算してみよう。これは
　Ｙ＝１＋１／２＋１／３＋…＋１／ｎ
のように与えられる。これで計算すると、例えば実際年齢で７０歳まで生きたとしても、感受年齢はわずか５歳にもならないということになる (図２)。これはちょっといくらなんでも認め難い。

　我々の命が誕生するのは誕生日ではなく、その前に母親の胎内で十月十日過ごしていたことを忘れていたが、それを考慮してもあまり関係なさそうだ。また、ものごころがついてからの1年を感受年１年としたとしても、大して影響はなさそうだ。考え直そう。

　(2) モデル−２
　歳を取るにつれて時の経つのが速く感じられる理由として、初めて眼にしたり耳にしたりする量、すなわち新しく体験する量が日増しに減ってくるからだという説がある。確かに、生きるということは新しい時間を過ごすということであるから、体験の量が年齢であるということができるかもしれない。
　この世での我々が体験できる量はほぼ一定Ｎ₀であるとしよう。自分が今までに体験した量をＹとすると、まだ体験していない量は (Ｎ₀−Ｙ) であり、自分が新しく体験する量の増加率は、このまだ体験していない量 (Ｎ₀−Ｙ) に比例するであろう。すなわち、生まれてからの時間をｎとして
　ｄＹ/ｄｎ=ｋ(Ｎ₀−Ｙ)　　(ｋ は正の比例定数)
これを解くと
　Ｙ＝Ｎ₀(１−ｅ^−ｋｎ)
となる。いま、Ｎ₀＝Ａ/(１−ｅ^−ｋ)、ｅ^−ｋ＝ｒ　(Ａ、ｒは定数で ０＜ｒ＜１) とおくと次のようになる。
　Ｙ＝Ａ(１−ｒ^ｎ)/(１−ｒ)＝Ａ(１＋ｒ＋ｒ²＋ｒ³＋…＋ｒ^ｎ−１)

実際年 感受年(年) 感受年齢(歳) 　　１歳時 １.０００ 　１.０ 　１０歳時 ０.９１４ 　９.６ 　２０歳時 ０.８２６ １８.２ 　５０歳時 ０.６１１ ３９.５ 　７０歳時 ０.５００ ５０.５ １００歳時 ０.３７０ ６３.４

(ｒ＝０.９９ とした場合)

　上式は、ｎが連続的な時間として導いたものであるが、ｎ＝１,２,３,… 年 と考えると次のことを意味する。すなわち、生まれて最初の１年はやはり１年と感じるが、１〜２歳までの１年間は ｒ年と感じ、２〜３歳までの１年間は ｒ²年と感じ、３〜４歳までの１年間は ｒ³年と感じ、… というようにどんどん短く感じる。すなわち、生きた実際年が (ｎ−１)〜ｎ年までの１年を我々は
ｒ^ｎ−１年と感じるということである。 (図３)

　モデル−２ の方は、我々が感じている時間をよく表しているように思うがどうであろうか。ただし、例として ｒ＝０.９９ としたものを示したが、人によっては ｒ が限りなく１に近い人もいるだろうし、あるいは ｒ＝０.８ ぐらいの人もいるかも知れない。ｒ の値は、その人が如何に新しいことに挑戦し続けた充実した人生であるかどうかを表す指標ということができるかもしれない。あなたのｒ指標はいくつだろうか？

(2001.11. 6)

　数列 Ａ、Ａｒ、Ａｒ²、Ａｒ³、… を、初項Ａ、公比 ｒ の等比数列という。第ｎ項目は、Ａｒ^ｎ−１ である。また、初項から第ｎ項までの和 Ｙ＝Ａ＋Ａｒ＋Ａｒ²＋Ａｒ³＋ … ＋Ａｒ^ｎ−１ は、Ｙ＝Ａ(１−ｒ^ｎ)/(１−ｒ) で与えられる。