天は人の上に人を造らず

　「天は人の上に人を造らず人の下に人を造らずと云へり」　有名な、福沢諭吉の「学問のすゝめ」の巻頭文であるが、要は「人は皆生まれたときは平等である」　と言っているのである。直接には言わないで、上記のように言うところに趣きがあり格調高く聞こえ、また心に残る所以である。
　私も、この手法で何か名言でも残したい、と考えたが、悲しいかな教養の無さは致しかたが無く、格調ある名文が浮かぶわけがない。それは早々に見切りを付けて、名文ならぬ迷文を作った。
　「およそ人生は、無駄より大、無駄未満である」　まあ、生きていくことに価値の上下を付けてもしようがない、というほどの気持ちである。ところで、今日話題にしたいことは、迷文のあまり意味の無い内容のことではなく、この苦し紛れ (？) の表現法は数学的である、ということについてである。

　θ を限りなく 0 に近づけると、sin θ　の値は 0 に近づく。このことを、
　　sin θ → 0　　(θ → 0)
と書く。では、θ を限りなく 0 に近づけるとき、
　　sin θ/ θ
はどんな値に近づくか？　分子は 0 に近づくが、同時に分母も 0 に近づくので、このままでは何ともわからない。ところが、次のように考えればどんな値に近づくのかがわかるのである。
　ここでは証明は示さないが、
　　cos θ < sin θ/ θ　< 1　　(-π/2 < θ < 0、0 < θ < π/2)
が成り立つことが知られている。　cos θ → 1 　(θ → 0)　なので、θ が限りなく 0 に近づくとき、間に挟まれた sin θ/ θ は、１に近づくと言わざるを得ないのである。すなわち、
　　　sin θ/ θ → 1　　(θ → 0)
となるのである。

　ところで、ある人物について、「人以上でもなく人以下でもない」と評することがある。おそらく言わんとすることは、「同じ人間である」という意味だとは思う。だが数学的には、「以上」には、それ、またはそれより大きいという意味がある。よって、「人以上ではない」ということは、人ではなく、かつ人より大きくない(上ではない、優れてはいない)、ということである。「以下」についても同様である。であるから、「人以上でもなく人以下でもない」ということは、いったいその人物は、何だ？ということになってしまう。

　まあそれは冗談だとしても、先の　cos θ < sin θ/ θ　< 1　および　cos θ → 1 　(θ → 0)　から、sin θ/ θ → 1　 (θ → 0)　とすることにはちょっと疑問がある向きもあると思う。つまり、 sin θ/ θ　が１より大きく、かつ１より小さいというのはおかしいではないか？
　この疑問に対しては、次のように説明できる。　θ≠０なら、 cos θ < sin θ/ θ　であっても、θ → ０の極限では、 cos θ　も　sin θ/ θ　も共に限りなく１に近づくのである(下グラフ参照)。　共に同じ時代を生きたライバルがいて、生きている間には、そのライバルに一度も勝てたことがなかったとしても、共に切磋琢磨していれば、死んで行く先はおよそ同じところである、というようなことであろうか。