基礎数学についてのバーチャルレッスン(Internet Expolor のみ対応) なるものを作成した。受講者の履修状況や成績が記録できる。各人の成績はその人しか見られないが、総計ポイントによるランキングもあり、自分の成績順位が確認できる。やはり自分の成績が記録として残れば、それを上回る記録に挑戦しようという意欲が出てくる。
　成績ランキングを作成するためには、各人の総合点を出さなくてはならないが、この総合点の出し方に合理的な方法があるのだろうか、ということが今回の話題である。

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　説明を簡単にするために、
　　１．整式の乗法（20問） ：　1問当たりの配点＝5点
　　２．因数分解　 （50問） ：　1問当たりの配点＝2点
の２つの項目があるとする。各項目についての配点は同点とする。

　（I) 項目の評点
　まず最初に、各項目について100点満点で評点を付けなくてはならない。通常のペーパーによるテストの場合には
　　通常の評点＝(1問当たりの配点)×(正解した問題数)　 　　　　　　　　　　　　　　… (1)
とするであろう。しかしながら、パソコンでの場合には、もし回答が不正解のときは何度でも入力をやり直せる。そこで、
　　正解した問題数を ｔ 、間違えた回数を ｆ
とする。ｆ は間違えた問題数ではなく、間違えた回数であることに注意していただきたい。そして、
　　正答率＝ｔ／(ｔ＋ｆ)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　… (2)
を導入する。

　ところで、1問だけに挑戦し ｔ＝1、ｆ＝0　の場合、20問に挑戦し、ｔ＝20、ｆ＝0 の場合は、いずれも 正答率＝1 となる。 したがって正答率でもってその評点にすることは妥当ではない。 正解した問題数 ｔ も考慮しなくてはならない。
　そこで、
　　ポイント＝( 正解した問題数)×(正答率)＝ｔ×ｔ／(ｔ＋ｆ)　　　　　　　　　　　　　　 … (3)
および、
　　評点＝( 通常の評点)×(正答率)＝（1問当たりの配点）×ポイント　　　　　　　… (4)
とすることにした。

　さて、Ａ君、Ｂ君が挑戦し、次のような結果になったとしよう。

	Ａ君	Ｂ君
１．整式の乗法	ｔ＝13, ｆ＝53	ｔ＝7, ｆ＝30
２．因数分解	ｔ＝21, ｆ＝13	ｔ＝28, ｆ＝35

　(2)、(3)、(4)によってそれぞれ正答率、ポイント、評点を出すと次のようになる。

	Ａ君			Ｂ君
	正答率	ポイント	評点	正答率	ポイント	評点
１．整式の乗法	0.20	2.56	13点	0.19	1.32	7点
２．因数分解	0.62	12.97	26点	0.44	12.44	25点

　項目１、２とも、正答率、ポイント（評点）について Ａ君の方がＢ君より高得点である。

　（II) 総合点
　以上の各項目の評点の結果より総合点を出したいのであるが、項目１と２で問題数が異なるので、それぞれの評点を加えて２で割る、いわゆる平均点は適当ではないような気がする。
　やはり、項目１と２の全問題数70問に対しての正解した問題数 、間違えた回数 を用いるべきであろう。
　　全問題数 70問 ：　１問当たりの配点＝100/70点
である。したがって、

	Ａ君			Ｂ君
	正答率	ポイント	評点	正答率	ポイント	評点
総合点	0.34	11.56	16.5点	0.35	12.25	17.5点

となる。 　総合点では、正答率、ポイント（評点）について Ｂ君の方がＡ君より高得点になる。 項目１、２とも、正答率およびポイント（評点）について Ａ君の方がＢ君より高得点であったにもかかわらず、である。

　これは、いわゆるシンプソンのパラドックスという現象である。
（参考）
　　Ａ君の正答率：　13／66＝0.20　と　21／34＝0.62　より　総合正答率＝（13＋21）／（66＋34）＝0.34
　　Ｂ君の正答率：　 7／37＝0.19　と　28／63＝0.44　より　総合正答率＝（ 7＋28）／（37＋63）＝0.35
ポイント（評点）についても、同様の現象が起こっている。

　(※ シンプソンのパラドックスについては、例えば びいたまさん の 『シンプソンのパラドックス』 で分かりやすく紹介されています。)
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　また、次のような状況は実際にあり得ることである。 例えば

	Ａ君	Ｂ君
１．整式の乗法	ｔ＝1, ｆ＝0	ｔ＝20, ｆ＝20
２．因数分解	ｔ＝1, ｆ＝0	ｔ＝50, ｆ＝50

だったとすると、

	Ａ君			Ｂ君
	正答率	ポイント	評点	正答率	ポイント	評点
１．整式の乗法	1.0	1.0	5点	0.5	10.0	50点
２．因数分解	1.0	1.0	2点	0.5	25.0	50点
総合点	1.0	2.0	2.86点	0.5	35.0	50点

　今度は、項目ごとと総合点での逆転現象は起こらないが、正答率ではＡ君が良い、ポイント（評点）ではＢ君が良いという、現象がおこってしまう。

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　要は、何を評価したいのか、ということであろう。 解いた問題の数はあまり問題にしなくて正確さを重要視するなら正答率を採用、間違ってもいいからとにかく正解を出した問題数が大切であるなら正解した問題数のみを、あるいは、間違ったことを少しは考慮して正解した問題数を評価したいなら、ポイント（評点）を採用、ということになろう。 さてさて、何が重要なのだろうか？ あるいは、他に万能な点数化の方法があるのだろうか？

　なお、今回作成したバーチャルレッスン(Internet Expolor のみ対応) は、学生が自主的に学習することが目的である。したがって、少々間違ってもいいから解いた問題数を評価したい。 そこで、各項目については正答率、ポイント、評点を出したが、総合点としては、各項目のポイントの合計を採用した。 多くやればやるほど（もちろん間違いが少ない方が）総計ポイントは増し、高ランキングに位置する仕組みである。

(2003. 3.22)

　【問】　プロ野球の投手の成績で、
　　Ａ投手 ： １０勝　０敗
　　Ｂ投手 ： ２０勝１０敗
のとき、どちらの投手の働きが大きいと言えるだろうか。 一般には、Ｂ投手の方が評価されていると思われるが、それはなぜだろう？